Mesures, moyennes et incertitudes type A

Tous les instruments de mesure présentent une incertitude de mesures, un intervalle de confiance. Une même balance peut afficher 3 ou 4 mesures différentes pour un meme objet …

Mais alors, les instrument de mesure sont-ils fiables ? Pourquoi la science moderne s’appuie-elle sur ces mesures pour expliquer le monde ?

Les scientifiques disposent d’outils mathématiques et de protocole pour s’affranchir de ses incertitudes de mesures.

Consignez les mesures : le tableau

Les données mesurées sont rassemblées dans un tableau

En guise d’exemple, sont consignées ci-dessous les mesures de masse d’un volume d’eau de 20 mL. L’ensemble des résultats doit être présentés sous la forme d’un tableau horizontal lors de la rédaction des comptes rendus de travaux pratiques.

En physique chimie, les entrées d’un tableau correspondent à des grandeurs physiques avec leur unité de mesure.

L'histogramme et le calcul de la moyenne (seconde)

L’histogramme est un outil très utile pour se rendre compte en un coup d’oeil de la disparité des mesures. Elle permet aussi de voir les erreurs : 

  • Systémiques : Instruments mal calibrés, protocole mal rédigé.
  • La négligence : Nul n’est parfait…

Histogramme

Remarques

La mesure 20,9 g est une erreur systémique ou de négligence car trop éloignée des autres. Nous l’enlèverons pour la suite

Les autres mesures sont regroupées : nous calculerons alors une moyenne avec ces mesures-là.

Travail n°1 : Calculer la moyenne de l’ensemble des mesures en utilisant la formule suivante :

Formule générale pour calculer une moyenne

Correction : 

Exemple de calcul d'une masse moyenne

Calculs statistiques : incertitude de type A (Terminale)

On estime les incertitudes de type A lorsque l’expérimentateur dispose d’un échantillon de N valeurs mesurées … :

  • avec le même opérateur, le même instrument de mesure, le même protocole: rigoureux
  • avec des  opérateurs différents, des  instruments de mesure différents, le même protocole : moins rigoureux

Présentation des calculs statistiques

X = X̄ ± u(X)

  • Moyennes, notées
  • Ecart-types, notées s(X)
  • Incertitudes-types, notées u(X) (niveau de confiance de 68 %) : 

Les formules sont à disposition à la fin de votre livre de cours mais le plus simple est d’utiliser votre calculatrice pour ces opérations fastidieuses.

Comment utiliser sa calculatrice pour estimer une incertitude-type ?

Pour obtenir le tutoriel, cliquer sur votre calculatrice ci-dessous et rendez vous page 2 : Compléments : Données brutes (sans effectif)

(Source : math.univ-lyon1.fr )

TI 83 Premium

Casio Graph

Numworks

TI 82 Advanced

TI 83

TI 89 Titanium

TI nspire

Confrontation d'une valeur expérimentale avec une valeur théorique

On calculera le z-score :

Formule du z-score en fonctino de la valeur expérimentale et de la valeur de réference

  • Si z est inférieur à 2, plus la mesure Xexp est jugée compatible avec la valeur de référence Xref.
  • Si z est supérieur à 2, soit il y a eu une erreur de manipulation ou de calcul, soit nous avons sous-estimé l’incertitude.

Remarque : Post bac, vous n’utiliserez plus le z-score mais les incertitudes élargies, notées U(X) (différent de u(X)) dont le calcul est, pour avoir un niveau de confiance à 95 % :

Exemple de calculs statistiques

Travail n° 2 : Estimons l’incertitude-type des mesures  du travail n°1.

En insérant les mesures de masse du travail précédent dans la calculatrice, on obtient les valeurs ci-dessous :

Résultats des calculs statistiques faits par une calculatrice TI 89

La calculatrice nous donne directement accès à :

  • La moyenne des masses : m̄ = 20,1111 = 20,1 g
  • L’écart-type : s(m) = 0,202759 g
  • Le nombre de mesure : n = 9
Nous pouvons alors calculer l’incertitude-type u(m) qui nous intéresse :Formule permettant de calculer l'incertitude type des masses d'eau
 

Vu le résultat de la moyenne et notre calcule d’incertitude type, on ne garde qu’un seul chiffre significatif : u(m) = 0,1 g (ne pas oublier l’unité)

Présentation du résultat : m = (20,1 ± 0,1) g

Confiance à 68 % (k=1)

On utilise l’incertitude type u(m)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,1) g

Confiance à 95 % (k=2)

On utilise l’incertitude élargie U(m)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,2) g

Confiance à 99 % (k=3)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,3) g

Laisser un commentaire