Moyennes et Incertitudes

A savoir

Tous les instruments de mesure présentent une incertitude de mesures, un intervalle de confiance. Une même balance peut afficher 3 ou 4 mesures différentes pour un meme objet …

Mais alors, les instrument de mesure sont-ils fiables ? Pourquoi la science moderne s’appuie-elle sur ces mesures pour expliquer le monde ?

Les scientifiques disposent d’outils mathématiques et de protocole pour s’affranchir de ses incertitudes de mesures.

consignez les mesures : Le tableau

Les données mesurées sont rassemblées dans un tableau

En guise d’exemple, sont consignées ci-dessous les mesures de masse d’un volume d’eau de 20 mL. L’ensemble des résultats peut être présenté … :

Tableau de mesure horizontale

Il faut présenter ainsi lors de la rédaction des comptes rendus de travaux pratiques.

En physique chimie, les entrées d’un tableau correspondent à des grandeurs physiques avec leur unité de mesure.

L'histogramme et calcul de la moyenne

L’histogramme est un outil très utile pour se rendre compte en un coup d’oeil de la disparité des mesures. Elle permet aussi de voir les erreurs : 

  • Systémiques : Instruments mal calibrés, protocole mal rédigé.
  • La négligence : Nul n’est parfait…

Histogramme

Histogramme représentant la fréquence des mesures des masses d'eau
Fréquence de mesure des masses d'eau

Remarques

La mesure 20,9 g est une erreur systémique ou de négligence car trop éloignée des autres. Nous l’enlèverons pour la suite

Les autres mesures sont regroupées : nous calculerons alors une moyenne avec ces mesures-là.

Travail n°1 : Calculer la moyenne de l’ensemble des mesures en utilisant la formule suivante :

Formule générale pour calculer une moyenne

Correction : 

Exemple de calcul d'une masse moyenne

Calculs statistiques (Terminale)

Vous disposez des formules à la fin de votre livre de cours mais le plus simple est d’utiliser votre calculatrice pour ces opérations fastidieuses. Vous serez amenés à déterminer les … :

  • Moyennes, notées
  • Ecart-types, notées s(X)
  • Incertitudes-types, notées u(X) dont le niveau de confiance est de 68 % :  
  • Incertitudes élargies, notées U(X) dont le calcul est, pour avoir un niveau de confiance à 95 % :

La rédaction de la mesure au cours de cette expérience devra être présenté ainsi : 

X = X̄ ± U(X)

Comment utiliser sa calculatrice ?

Pour obtenir le tutoriel, cliquer sur votre calculatrice ci-dessous et rendez vous page 2 : Compléments : Données brutes (sans effectif)

(Source : math.univ-lyon1.fr )

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Exemple de calculs statistiques

Reprenons l’exemple précédent avec les mesures de la masse d’eau. Vous devez obtenir ces valeurs ci-dessous :

Résultats des calculs statistiques faits par une calculatrice TI 89

La calculatrice nous donne directement accès à :

  • La moyenne des masses : m̄ = 20,1 g
  • L’écart-type : s(m) = 0,287228 g
  • Le nombre de mesure : n = 9
Nous pouvons alors calculer l’incertitude-type u(m) qui nous intéresse :
Formule permettant de calculer l'incertitude type des masses d'eau

On ne garde qu’un seul chiffre significatif : u(m) = 0,1 g (ne pas oublier l’unité)

Confiance à 68 % (k=1)

On utilise l’incertitude type u(m)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,1) g

Confiance à 95 % (k=2)

On utilise l’incertitude élargie U(m)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,2) g

Confiance à 99 % (k=3)

m = 20,1 ± k × 0,1

m = (20,1 ± 0,3) g

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